Zahlwort

Da sich 153 als Produkt 3*51 der eigenen Ziffern schreiben läßt, handelt es sich um eine Friedmanzahl, für die Potenzieren nicht erforderlich ist. Die ersten sind

 126 = 6*21
 153 = 3*51
 688 = 8*86
1206 = 6*201
1255 = 5*251
1260 = 6*210 = 21*60
1395 = 15*93 = 5*9*31

Offensichtlich wird auch von Addition, Subtraktion und Division kein Gebrauch gemacht. Verzichtet man nämlich auf das Potenzieren, werden alle Ziffern für Multiplikationen benötigt, um überhaupt die erforderlich Stellenzahl zu erreichen.

Solche Friedmanzahlen ohne Potenzierung, also nur mit Multiplikation werden von Erich Friedman Vampirzahlen genannt. Andere bezeichnen dagegen nur solche als Vampirzahlen, die sich als Produkt zweier gleich langer Faktoren darstellen lassen. Dann bleiben bis 9999 nur sieben Vampirzahlen

1260 = 21*60
1395 = 15*93
1435 = 35*41
1530 = 30*51
1827 = 21*87
2187 = 27*81
6880 = 80*86

Unschön an dieser verschärften Definition ist, daß 153 keine Vampirzahl mehr ist und sich als 1530 reinmogeln muß. In jedem Falle kommt aber 153 allenthalben vor, besser gesagt die Ziffern 1, 5 und 3. Das liegt nicht nur an 153=3*51, sondern auch an 3*5=15 und 3*351=1053.

Andersen

Das ist ja mal ein Thema für mich. Nicht, daß ich irgendwas verstanden hätte... (Ich bin immer regelmäßig fasziniert von Ihrer Arbeit hier!)

Hat man eine Folge von Zahlen, so stellt man regelmäßig die Fragen: Gibt darunter Primzahlen, Quadratzahlen oder andere, welche ist die kleinste, die größte oder sind es unendlich viele?

Primzahlen gibt es unter den Vampirzahlen offensichtlich nicht, weshalb man eine Vampirzahl bereits prim nennt, wenn sie eine Darstellung aus lauter Primfaktoren hat. Die ersten lauten:

117067 = 167*701
124483 = 281*443
146137 = 317*461
371893 = 383*971
536539 = 563*953

Ebenso nennt man eine Vampirzahl quadratisch, wenn sie eine Darstellung aus zwei gleichen Faktoren hat. Es reicht nicht aus, einfach eine Quadratzahl zu sein. Und wenn ich nicht falsch programmiert habe, dann sind die ersten:

  5267275776 = 72576*72576
165252006144 = 406512*406512
172455817284 = 415278*415278
244492669444 = 494462*494462
363967270209 = 603297*603297
526727577600 = 725760*725760

Damit ist die Frage nach der kleinsten primen bzw. quadratischen Vampirzahl beantwortet. Nach der ersten Vampirzahl, die sowohl quadratisch als auch prim ist, mußte mein Programm etwas länger suchen. Hat es sich nicht geirrt, so ist es

2459319153459529 = 49591523*49591523

Eine größte quadratische Vampirzahl gibt es nicht, da aus

 9004540020079200492925x189784509590x000000000001 =
94892254795x000000000001*94892254795x000000000001

eine unendliche Folge von quadratischen Vampirzahlen entsteht, wenn man x durch 0,1,2,3,... Nullen ersetzt. Darunter sind auch prime Vampirzahlen. Die kleinste hat 104 Stellen, die größte bekannte 90858 Stellen (Jens Kruse Andersen, 2002) oder bereits mehr. Es sieht so aus, als gäbe es unendlich viele prime Vampirzahlen, weil es schon unendlich viele gibt, die zugleich quadratisch als auch prim sind. Doch bewiesen scheint das nicht zu sein.

Die kleineren Vampirzahlen haben nur eine Zerlegung in nur zwei Faktoren, den beiden Beißzähnen (fang pair). Es gibt aber auch Vampire, die im Hals mehr als zwei Löcher hinterlassen, auch wenn man sich auf echte Vampirzahlen beschränkt, also nur zwei gleich lange Faktoren zuläßt, von denen nur einer auf 0 enden darf. Die kleinsten Vampirzahlen mit genau zwei bis fünf Zerlegungen lauten:

125460 = 22*32*5*17*41
       = 204 * 615
       = 246 * 510

13078260 = 22*37*5*13*23
         = 1620 * 8073
         = 1863 * 7020
         = 2070 * 6318

16758243290880 = 28*35*5*73*13*43*281
               = 1982736 * 8452080
               = 2123856 * 7890480
               = 2751840 * 6089832
               = 2817360 * 5948208

24959017348650 = 2*35*52*7*113*37*59*101
               = 2947050 * 8469153
               = 2949705 * 8461530
               = 4125870 * 6049395
               = 4129587 * 6043950
               = 4230765 * 5899410

Es ist natürlich nicht so überraschend, die Vampirzahlen mit den vielen Beißzahnpaaren unter denen mit vielen Teilern zu finden. Geht man aber auf die Jagd nach Zahnungeheuern, so reicht einfacher Computereinsatz nicht. Ein paar zusätzliche Überlegungen sind: Den Faktor 5 nur einmal zu nehmen, weil er mit 2 auf 10 und damit auf nicht zählbare unechte Vampirzahlen führt. Den Faktor 3 häufig zu nehmen, weil für Zahnpaare (x,y) von Vampiren xy=x+y modulo 9 ist. Eine Gleichverteilung der Anzahlen der Ziffern ist hilfreich, auch eine mit 1 oder gar 10 beginnende Zahl. Das führte Jens Kruse Andersen auf eine 70-stellige Zahl mit sage und schreibe 100025 Zerlegungen.

Andersen